№10. Решите уравнение \( x^4 + 3x^2 - 10 = 0 \).

Решение:

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 + 3y - 10 = 0 \)

1. Решим квадратное уравнение относительно \( y \): \( a=1, b=3, c=-10 \).
2. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \).
3. Найдём корни для \( y \): \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
4. Теперь вернёмся к замене \( x^2 = y \):
• \( x^2 = 2 \) \(\Rightarrow\) \( x = \pm \sqrt{2} \)
• \( x^2 = -5 \) \(\Rightarrow\) действительных корней нет.

Ответ: \(\pm \sqrt{2}\)