12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: \(y = \frac{1}{2}x^4 + x^3 - x^2 + 2\)

Решение:

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции \(y = \frac{1}{2}x^4 + x^3 - x^2 + 2\) необходимо найти её первую производную, приравнять её к нулю и проанализировать знаки производной.

1. Находим первую производную:
   \(y' = \left(\frac{1}{2}x^4 + x^3 - x^2 + 2\right)'\)
   \(y' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 + 3x^2 - 2x\)
   \(y' = 2x^3 + 3x^2 - 2x\)
2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:
   \(2x^3 + 3x^2 - 2x = 0\)
   Вынесем \(x\) за скобки:
   \(x(2x^2 + 3x - 2) = 0\)

   Отсюда одна из критических точек \(x_1 = 0\).

   Теперь решим квадратное уравнение \(2x^2 + 3x - 2 = 0\).

   Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\).

   Найдём корни квадратного уравнения:

   \(x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5\)

   \(x_3 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2\)

   Критические точки: \(x = -2, x = 0, x = 0.5\).

3. Анализируем знаки производной на интервалах:
   Разделим числовую ось на интервалы с помощью критических точек: \((-\infty, -2)\), \((-2, 0)\), \((0, 0.5)\), \((0.5, \infty)\).
   Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим в \(y' = 2x^3 + 3x^2 - 2x\):
   
   • \(x = -3\) (интервал \((-\infty, -2)\)): \(y' = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 2(-3) = 2(-27) + 3(9) + 6 = -54 + 27 + 6 = -21\) (-). Функция убывает.
   • \(x = -1\) (интервал \((-2, 0)\)): \(y' = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 2(-1) = 2(-1) + 3(1) + 2 = -2 + 3 + 2 = 3\) (+). Функция возрастает.
   • \(x = 0.1\) (интервал \((0, 0.5)\)): \(y' = 2(0.1)^3 + 3(0.1)^2 - 2(0.1) = 2(0.001) + 3(0.01) - 0.2 = 0.002 + 0.03 - 0.2 = -0.168\) (-). Функция убывает.
   • \(x = 1\) (интервал \((0.5, \infty)\)): \(y' = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 2(1) = 2 + 3 - 2 = 3\) (+). Функция возрастает.
4. Определяем промежутки монотонности и точки экстремума:
   
   • Промежутки монотонности:
     Убывает на \((-\infty, -2]\) и \([0, 0.5]\).
     Возрастает на \([-2, 0]\) и \([0.5, \infty)\).
   • Точки экстремума:
     В точке \(x = -2\) производная меняет знак с "-" на "+" → локальный минимум.
     В точке \(x = 0\) производная меняет знак с "+" на "-" → локальный максимум.
     В точке \(x = 0.5\) производная меняет знак с "-" на "+" → локальный минимум.
5. Находим значения функции в точках экстремума:
   
   • При \(x = -2\): \(y = \frac{1}{2}(-2)^4 + (-2)^3 - (-2)^2 + 2 = \frac{1}{2}(16) - 8 - 4 + 2 = 8 - 8 - 4 + 2 = -2\). Точка минимума: \((-2, -2)\).
   • При \(x = 0\): \(y = \frac{1}{2}(0)^4 + (0)^3 - (0)^2 + 2 = 0 + 0 - 0 + 2 = 2\). Точка максимума: \((0, 2)\).
   • При \(x = 0.5\): \(y = \frac{1}{2}(0.5)^4 + (0.5)^3 - (0.5)^2 + 2 = \frac{1}{2}(0.0625) + 0.125 - 0.25 + 2 = 0.03125 + 0.125 - 0.25 + 2 = 1.90625\). Точка минимума: \((0.5, 1.90625)\).

Ответ:

Промежутки монотонности:

Убывает на \((-\infty, -2]\) и \([0, 0.5]\).

Возрастает на \([-2, 0]\) и \([0.5, \infty)\).

Точки экстремума:

Локальный минимум в точке \((-2, -2)\).

Локальный максимум в точке \((0, 2)\).

Локальный минимум в точке \((0.5, 1.90625)\).