12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: y = -9x² - 18x + 6

Решение:

1. Найдём производную функции:
\[ y' = (-9x^2 - 18x + 6)' = -18x - 18 \]
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
\[ -18x - 18 = 0 \]\[ -18x = 18 \]\[ x = -1 \]
3. Определим промежутки монотонности, исследуя знак производной:
• Возьмём \( x < -1 \), например, \( x = -2 \). Тогда \( y'(-2) = -18(-2) - 18 = 36 - 18 = 18 \). Так как \( y' > 0 \), функция возрастает на интервале \( (-\infty, -1) \).
• Возьмём \( x > -1 \), например, \( x = 0 \). Тогда \( y'(0) = -18(0) - 18 = -18 \). Так как \( y' < 0 \), функция убывает на интервале \( (-1, \infty) \).
4. Определим точки экстремума:

В точке \( x = -1 \) производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, это точка максимума.

Найдем значение функции в этой точке:

\[ y(-1) = -9(-1)^2 - 18(-1) + 6 = -9(1) + 18 + 6 = -9 + 18 + 6 = 15 \]

Ответ:

• Промежутки монотонности: функция возрастает на \( (-\infty, -1) \), убывает на \( (-1, \infty) \).
• Точка экстремума: \( x = -1 \) (точка максимума), \( y = 15 \).