11. Решите неравенство: 2²ˣ⁺³ + 15 · 2²ˣ⁺¹ < 19

Решение:

Преобразуем выражение, используя свойства степеней \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \).

\[ 2^{2x+3} = 2^{2x} \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^{2x} \]

\[ 15 \cdot 2^{2x+1} = 15 \cdot 2^{2x} \cdot 2^1 = 15 \cdot 2 \cdot 2^{2x} = 30 \cdot 2^{2x} \]

Подставим это в неравенство:

\[ 8 \cdot 2^{2x} + 30 \cdot 2^{2x} < 19 \]

Сложим слагаемые с \( 2^{2x} \):

\[ (8 + 30) \cdot 2^{2x} < 19 \]

\[ 38 \cdot 2^{2x} < 19 \]

Разделим обе части на 38 (положительное число, знак неравенства не меняется):

\[ 2^{2x} < \frac{19}{38} \]

\[ 2^{2x} < \frac{1}{2} \]

Представим \( \frac{1}{2} \) как степень двойки:

\[ 2^{2x} < 2^{-1} \]

Так как основание степени \( 2 > 1 \), то показатель степени будет меньше:

\[ 2x < -1 \]

Разделим обе части на 2:

\[ x < -\frac{1}{2} \]

Ответ: x < -1/2