1187 Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности.

Решение:

а) Через радиус вписанной окружности (r)

1. Сторона (a):

   Радиус вписанной окружности в правильный треугольник связан со стороной $$a$$ формулой:

   $$ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} $$

   Выразим сторону $$a$$:

   $$ a = 2r\sqrt{3} $$
2. Периметр (P):

   Периметр правильного треугольника равен $$P = 3a$$. Подставляем выражение для $$a$$:

   $$ P = 3 \cdot (2r\sqrt{3}) = 6r\sqrt{3} $$
3. Площадь (S):

   Площадь правильного треугольника можно выразить через периметр и радиус вписанной окружности:

   $$ S = \frac{1}{2} P r $$

   Подставляем выражение для $$P$$:

   $$ S = \frac{1}{2} (6r\sqrt{3}) r = 3r^2\sqrt{3} $$

   Альтернативно, через сторону $$a$$:

   $$ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (2r\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4r^2 \cdot 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} (12r^2) = 3r^2\sqrt{3} $$

б) Через радиус описанной окружности (R)

1. Сторона (a):

   Радиус описанной окружности в правильный треугольник связан со стороной $$a$$ формулой:

   $$ R = \frac{a}{\sqrt{3}} $$

   Выразим сторону $$a$$:

   $$ a = R\sqrt{3} $$
2. Периметр (P):

   Периметр правильного треугольника равен $$P = 3a$$. Подставляем выражение для $$a$$:

   $$ P = 3 \cdot (R\sqrt{3}) = 3R\sqrt{3} $$
3. Площадь (S):

   Площадь правильного треугольника можно выразить через радиус описанной окружности $$R$$:

   $$ S = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2 $$

   Альтернативно, через сторону $$a$$:

   $$ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (R\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (R^2 \cdot 3) = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2 $$

Ответ:

• а) Через радиус вписанной окружности (r):
• Сторона: $$a = 2r\sqrt{3}$$
• Периметр: $$P = 6r\sqrt{3}$$
• Площадь: $$S = 3r^2\sqrt{3}$$
• б) Через радиус описанной окружности (R):
• Сторона: $$a = R\sqrt{3}$$
• Периметр: $$P = 3R\sqrt{3}$$
• Площадь: $$S = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2$$