11. Тип 11 № 8719 / На рисунке изображён граф. Ваня обвёл этот граф, не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни одно робро дважды. С какой вершины Ваня начал обводить граф, если он закончил его об водить в вершине Е?

Привет! Давай разберемся с этим графом.

Шаг 1: Определим, что такое граф и его вершины/рёбра.

Граф — это набор точек (вершин), соединенных линиями (рёбрами). В нашей задаче Ваня обводит этот граф, не отрывая карандаша и не проводя одно ребро дважды. Это похоже на задачу о «кенигсбергских мостах».

Шаг 2: Вспомним теорию графов о прохождении всего графа.

Чтобы пройти весь граф, начав и закончив в разных вершинах, граф должен иметь ровно две вершины с нечетной степенью (степень вершины — это количество рёбер, выходящих из неё). В этом случае начинать нужно с одной из вершин с нечетной степенью, а заканчивать — в другой.

Если же граф имеет только вершины с четной степенью, то можно начать и закончить в одной и той же вершине (это называется Эйлеров цикл).

Шаг 3: Определим степени всех вершин на рисунке.

Давай посчитаем, сколько рёбер выходит из каждой вершины:

• Вершина A: 3 ребра (к H, K, G) — нечетная степень (3)
• Вершина B: 4 ребра (к K, H, C, L) — четная степень (4)
• Вершина C: 4 ребра (к B, K, L, D) — четная степень (4)
• Вершина D: 3 ребра (к C, L, M) — нечетная степень (3)
• Вершина E: 3 ребра (к F, N, M) — нечетная степень (3)
• Вершина F: 3 ребра (к G, A, E) — нечетная степень (3)
• Вершина G: 2 ребра (к A, F) — четная степень (2)
• Вершина H: 2 ребра (к A, B) — четная степень (2)
• Вершина K: 3 ребра (к A, B, C) — нечетная степень (3)
• Вершина L: 4 ребра (к B, C, D, M) — четная степень (4)
• Вершина M: 3 ребра (к D, E, L) — нечетная степень (3)
• Вершина N: 1 ребро (к E) — нечетная степень (1)

Внимательно смотрим на рисунок, особенно на вершину N, из которой выходит только одно ребро.

Шаг 4: Проанализируем вершины с нечетной степенью.

У нас есть вершины с нечетной степенью: A (3), D (3), E (3), F (3), K (3), M (3), N (1).

Шаг 5: Определим начало и конец пути.

Ваня закончил обводить граф в вершине E. Если он закончил в вершине E, а граф имеет несколько вершин с нечетной степенью, то он должен был начать в одной из других вершин с нечетной степенью.

По условию задачи, Ваня обвёл граф, не отрывая карандаша и не проводя ребро дважды. Это означает, что он прошёл по Эйлерову пути (или циклу).

Для Эйлерова пути, который начинается и заканчивается в разных вершинах, граф должен иметь ровно две вершины с нечетной степенью. В нашем случае таких вершин 7 (A, D, E, F, K, M, N). Это говорит о том, что такой обход всего графа, начинающийся и заканчивающийся в разных вершинах, невозможен, если считать все вершины, которые мы определили.

Перепроверим рисунок и условие.

Возможно, мы неверно посчитали степени, или граф имеет особенности.

Давайте еще раз посмотрим на рисунок, особенно на центр звезды:

• A: 3 (к H, K, F)
• B: 4 (к K, H, C, L)
• C: 4 (к B, K, L, D)
• D: 3 (к C, L, M)
• E: 3 (к F, N, M)
• F: 3 (к A, G, E)
• G: 2 (к A, F)
• H: 2 (к A, B)
• K: 3 (к A, B, C)
• L: 4 (к B, C, D, M)
• M: 3 (к D, E, L)
• N: 1 (к E)

Возможно, в условии или на рисунке есть некоторая недосказанность, или же Ваня обвел только часть графа, или есть другой подход.

Давайте предположим, что задача подразумевает, что такой обход возможен.

Если задача сформулирована так, что такой обход возможен, то это значит, что существует Эйлеров путь. Для существования Эйлерова пути необходимо, чтобы количество вершин с нечетной степенью было равно 0 (Эйлеров цикл, начало и конец в одной вершине) или 2 (Эйлеров путь, начало и конец в разных вершинах).

У нас получилось 7 вершин с нечетной степенью. Это значит, что строго пройти весь граф, как описано, невозможно.

Однако, если мы прочитаем условие внимательно: