10. Сравните значения выражений f(9 – 4√5) и g(√5 + 2), если f(x) = √x, g(x) = 1/x.

Решение:

Даны функции \( f(x) = \sqrt{x} \) и \( g(x) = \frac{1}{x} \).

1. Вычислим значение \( f(9 - 4\sqrt{5}) \):

\( f(9 - 4\sqrt{5}) = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} \)

Попробуем упростить выражение под корнем, представив его в виде квадрата двучлена \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Нам нужно найти \( a \) и \( b \) такие, что \( a^2 + b^2 = 9 \) и \( 2ab = 4\sqrt{5} \), то есть \( ab = 2\sqrt{5} \).

Если \( a = 2 \) и \( b = \sqrt{5} \), то \( a^2 = 4 \) и \( b^2 = 5 \). Тогда \( a^2 + b^2 = 4 + 5 = 9 \) и \( ab = 2\sqrt{5} \). Это подходит.

Значит, \( 9 - 4\sqrt{5} = (2 - \sqrt{5})^2 \).

\( f(9 - 4\sqrt{5}) = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} \) = \( |2 - \sqrt{5}| \).

Так как \( \sqrt{5} \) приблизительно \( 2.236 \), то \( 2 - \sqrt{5} < 0 \). Поэтому \( |2 - \sqrt{5}| = -(2 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2 \).

2. Вычислим значение \( g(\sqrt{5} + 2) \):

\( g(\sqrt{5} + 2) = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} \)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( \sqrt{5} - 2 \):

\( g(\sqrt{5} + 2) = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} \times \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{5 - 4} = \frac{\sqrt{5} - 2}{1} = \sqrt{5} - 2 \).

3. Сравнение значений:

Мы получили, что \( f(9 - 4\sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2 \) и \( g(\sqrt{5} + 2) = \sqrt{5} - 2 \).

Следовательно, значения выражений равны.

Ответ: Значения выражений равны.