10. Решите методом интервалов неравенство (x+2)/(x-1) >= 0

Решение:

Метод интервалов для решения неравенства \( \frac{x+2}{x-1} \ge 0 \):

1. Приравняем числитель и знаменатель к нулю, чтобы найти критические точки: \( x+2 = 0 \Rightarrow x = -2 \) и \( x-1 = 0 \Rightarrow x = 1 \).
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Точка \( x=1 \) — выколотая, так как знаменатель не может быть равен нулю. Точка \( x=-2 \) — закрашенная, так как неравенство нестрогое (>=).
3. Числовая прямая разбивается на три интервала: \( (-\infty; -2] \), \( [-2; 1) \), \( (1; +\infty) \).
4. Проверим знак выражения \( \frac{x+2}{x-1} \) в каждом интервале:
   • Возьмем \( x = -3 \) (интервал \( (-\infty; -2] \)): \( \frac{-3+2}{-3-1} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} > 0 \).
   • Возьмем \( x = 0 \) (интервал \( [-2; 1) \)): \( \frac{0+2}{0-1} = \frac{2}{-1} = -2 < 0 \).
   • Возьмем \( x = 2 \) (интервал \( (1; +\infty) \)): \( \frac{2+2}{2-1} = \frac{4}{1} = 4 > 0 \).
5. Так как неравенство \( \ge 0 \), выберем интервалы, где знак '+'.

Ответ: \( (-\infty; -2] \cup (1; +\infty) \).