10. Найдите значение $$13 \cos(\frac{\pi}{2} – \alpha)$$, если $$\cos \alpha = – \frac{12}{13}$$ и $$\alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$$.

Решение:

Воспользуемся формулой приведения: \( \cos(\frac{\pi}{2} – \alpha) = \sin{\alpha} \).

Теперь нам нужно найти \( \sin{\alpha} \), зная \( \cos{\alpha} \) и интервал, которому принадлежит \( \alpha \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 \).

\( \sin^2{\alpha} = 1 - \cos^2{\alpha} = 1 - (-\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} \).

\( \sin{\alpha} = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13} \).

Условие \( \alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi) \) означает, что угол \( \alpha \) находится во второй четверти. Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Следовательно, \( \sin{\alpha} = \frac{5}{13} \).

Теперь найдём значение исходного выражения: \( 13 \cos(\frac{\pi}{2} – \alpha) = 13 \sin{\alpha} = 13 \cdot \frac{5}{13} = 5 \).

Ответ: 5