10. log_{2}(x-1) = log_{2}x + log_{3}3

Решение:

Уравнение: \( \log_{2}(x-1) = \log_{2}x + \log_{3}3 \).

1. Упростим правую часть уравнения: \( \log_{3}3 = 1 \).
2. Тогда уравнение примет вид: \( \log_{2}(x-1) = \log_{2}x + 1 \).
3. Перенесем \( \log_{2}x \) в левую часть: \( \log_{2}(x-1) - \log_{2}x = 1 \).
4. Используем свойство логарифмов \( \log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}\left(\frac{b}{c}\right) \): \( \log_{2}\left(\frac{x-1}{x}\right) = 1 \).
5. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): \( x-1 > 0 \) \( \Rightarrow x > 1 \) и \( x > 0 \). Объединяя, получаем \( x > 1 \).
6. Перейдем от логарифмического уравнения к алгебраическому: \( \frac{x-1}{x} = 2^1 \) \( \Rightarrow \frac{x-1}{x} = 2 \).
7. Решим полученное уравнение: \( x-1 = 2x \) \( \Rightarrow -1 = 2x - x \) \( \Rightarrow x = -1 \).
8. Сравним полученный корень с ОДЗ: \( x = -1 \) не удовлетворяет условию \( x > 1 \).

Ответ: Решений нет.