10. Даны вершины пирамиды: A₁(3; 1; 4), A₂(−1; 6; 1), A₃(−1; 1; 6), A₄(0; 4; −1). Найти: а) уравнение ребра A₁A₂; б) угол между рёбрами A₁A₂ и A₁A₄; в) уравнение грани A₁A₂A₄; г) уравнение высоты, опущенной из вершины A₃ на грань A₁A₂A₄ и её длину.

а) \(\overrightarrow{A_1A_2}=(-4,5,-3)\). Поэтому \(\boxed{\frac{x-3}{-4}=\frac{y-1}{5}=\frac{z-4}{-3}}\).

б) \(\overrightarrow{A_1A_4}=(-3,3,-5)\). Скалярное произведение: \((-4,5,-3)\cdot(-3,3,-5)=12+15+15=42\). Длины: \(|\overrightarrow{A_1A_2}|=\sqrt{50}\), \(|\overrightarrow{A_1A_4}|=\sqrt{43}\). Поэтому \(\boxed{\cos\varphi=\frac{42}{\sqrt{50}\sqrt{43}}=\frac{42}{5\sqrt{86}}}\), \(\boxed{\varphi\approx24.55^\circ}\).

в) \(\overrightarrow{A_1A_2}=(-4,5,-3)\), \(\overrightarrow{A_1A_4}=(-3,3,-5)\). Их векторное произведение: \((-16,-11,3)\). Уравнение грани: \(-16(x-3)-11(y-1)+3(z-4)=0\), то есть \(\boxed{16x+11y-3z-41=0}\).

г) Высота перпендикулярна грани и имеет направляющий вектор \(\vec n=(16,11,-3)\). Через \(A_3(-1,1,6)\): \(\boxed{\frac{x+1}{16}=\frac{y-1}{11}=\frac{z-6}{-3}}\).

Расстояние от \(A_3\) до плоскости грани: \(h=\dfrac{|16(-1)+11(1)-3(6)-41|}{\sqrt{16^2+11^2+(-3)^2}}=\dfrac{64}{\sqrt{386}}\).

Ответ: \(h=\frac{64}{\sqrt{386}}\approx3.26\).