1. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 73 и ВС = ВМ. Найдите АН.

Решение:

В треугольнике ВМС ВС = ВМ. Значит, этот треугольник равнобедренный. Углы при основании равны: ∠ BMC = ∠ BCM. Поскольку ВМ — медиана, то М — середина АС. Следовательно, MC = ½ * AC = ½ * 73 = 36,5.

В равнобедренном треугольнике ВМС, ВН — высота, проведенная к основанию МС. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Значит, Н — середина МС.

MH = ½ * MC = ½ * 36,5 = 18,25.

АН = AM + MH. Поскольку ВМ — медиана, AM = MC = 36,5.

АН = 36,5 + 18,25 = 54,75.

Ответ: 54,75