1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

• Дан прямоугольный треугольник, где гипотенуза (c) = 70, а один из острых углов равен 45°.
• Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а один угол прямой (90°), то второй острый угол равен 180° - 90° - 45° = 45°.
• Следовательно, треугольник является равнобедренным, а катеты (a и b) равны.
• Используем теорему Пифагора: a² + b² = c². Так как a = b, то 2a² = 70².
• 2a² = 4900.
• a² = 2450.
• a = \sqrt{2450} = \sqrt{49 \cdot 50} = 7\sqrt{50} = 7 \cdot 5\sqrt{2} = 35\sqrt{2}.
• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S = (a \cdot b) / 2.
• Так как a = b, то S = a²/2.
• S = 2450 / 2 = 1225.

Ответ: 1225