№2. Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1:2, считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его основанию, если объём всего конуса равен 54?

Пусть V - объем всего конуса, V = 54.

Высота делится в отношении 1:2, считая от вершины, значит, $$h_1 = \frac{1}{3}h, h_2 = \frac{2}{3}h$$, где h - высота всего конуса, h₁ - высота малого конуса, h₂ - высота усеченного конуса.

Плоскость параллельна основанию, следовательно, образуется малый конус, подобный исходному.

Коэффициент подобия: $$k = \frac{h_1}{h} = \frac{\frac{1}{3}h}{h} = \frac{1}{3}$$

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия:

$$\frac{V_{малого}}{V} = k^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$$

Объем малого конуса: $$V_{малого} = \frac{1}{27}V = \frac{1}{27} \cdot 54 = 2$$

Объем части конуса, примыкающей к основанию (усеченного конуса):

$$V_{усеч} = V - V_{малого} = 54 - 2 = 52$$

Ответ: 52