№ 3. В правильный четырёхугольник вписана окружность с радиусом 4 см. Найдите: а) сторону этого четырёхугольника; б) площадь круга, описанного около этого четырёхугольника.

Ответ: a) 8 см; б) 32π см²

Решение:

а) В правильный четырехугольник (квадрат) вписана окружность радиуса 4 см. Сторона квадрата равна двум радиусам вписанной окружности:

\[a = 2r = 2 \cdot 4 = 8\] см

б) Площадь круга, описанного около квадрата, равна \[S = \pi R^2\] , где R - радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности связан со стороной квадрата как \[R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\] . Подставляем значение стороны квадрата:

\[R = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\] см

Площадь круга:

\[S = \pi (4\sqrt{2})^2 = \pi \cdot 16 \cdot 2 = 32\pi\] см²

Ответ: a) 8 см; б) 32π см²