257 ■ В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС + АВ = 18 см. Найдите АС И АВ.

Ответ: АС = 9 см, АВ = 9 см

1. Найдем угол ∠A треугольника ABC: Т.к. внешний угол при вершине A равен 120°, то ∠A = 180° - 120° = 60°.
2. Найдем угол ∠B треугольника ABC: Т.к. сумма углов в треугольнике равна 180°, то ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°.
3. Т.к. катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то AC = \(\frac{1}{2}\)AB.
4. По условию, AC + AB = 18 см. Подставим AC = \(\frac{1}{2}\)AB в это уравнение: \[\frac{1}{2}AB + AB = 18\] \[\frac{3}{2}AB = 18\] \[AB = 18 \cdot \frac{2}{3}\] \[AB = 12\]
5. Тогда AC = 18 - AB = 18 - 12 = 6.

Ответ: АС = 6 см, АВ = 12 см