1 1 1 2.18. 1 β β² 1 β² β, где β = cos 4π/3 + i sin 4π/3

Вычислим определитель:

$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \beta & \beta^2 \\ 1 & \beta^2 & \beta \end{vmatrix} $$

Разложим определитель:

$$1(\beta^2 - \beta^4) - 1(\beta - \beta^2) + 1(\beta^2 - \beta) = \beta^2 - \beta^4 - \beta + \beta^2 + \beta^2 - \beta = 3\beta^2 - 2\beta - \beta^4$$

$$ \beta = cos \frac{4\pi}{3} + i sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ \beta^2 = cos \frac{8\pi}{3} + i sin \frac{8\pi}{3} = cos \frac{2\pi}{3} + i sin \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ \beta^3 = 1 $$ $$ \beta^4 = \beta $$

Подставим значения:

$$ 3(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) - 2(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2} + 1 + i\sqrt{3} + \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{2} + 1 + \frac{1}{2} + i( \frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} + i(\frac{3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}) = 0 + i(\frac{6\sqrt{3}}{2}) = 3i\sqrt{3} $$

Ответ: $$3i\sqrt{3}$$