α²+1 αβ αγ 2.15. αβ β²+1 βγ αγ βγ γ²+1

Вычислим определитель:

$$ \begin{vmatrix} \alpha^2+1 & \alpha\beta & \alpha\gamma \\ \alpha\beta & \beta^2+1 & \beta\gamma \\ \alpha\gamma & \beta\gamma & \gamma^2+1 \end{vmatrix} $$

Разложим определитель:

$$ (\alpha^2+1)((\beta^2+1)(\gamma^2+1) - (\beta\gamma)^2) - \alpha\beta((\alpha\beta)(\gamma^2+1) - (\alpha\gamma)(\beta\gamma)) + \alpha\gamma((\alpha\beta)(\beta\gamma) - (\alpha\gamma)(\beta^2+1)) $$

$$ (\alpha^2+1)(\beta^2\gamma^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 1 - \beta^2\gamma^2) - \alpha\beta(\alpha\beta\gamma^2 + \alpha\beta - \alpha\beta\gamma^2) + \alpha\gamma(\alpha\beta^2\gamma - \alpha\gamma\beta^2 - \alpha\gamma) $$

$$ (\alpha^2+1)(\beta^2 + \gamma^2 + 1) - \alpha\beta(\alpha\beta) + \alpha\gamma(-\alpha\gamma) $$

$$ \alpha^2\beta^2 + \alpha^2\gamma^2 + \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 1 - \alpha^2\beta^2 - \alpha^2\gamma^2 $$

$$ \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 1 $$

Ответ: $$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 1$$