4) Записать разложение бинома $$(a - 1)^6$$.

Используем бином Ньютона для разложения $$(a - 1)^6$$: $$(a - 1)^6 = \sum_{k=0}^{6} C_6^k a^{6-k} (-1)^k$$ Распишем разложение: $$(a - 1)^6 = C_6^0 a^6 (-1)^0 + C_6^1 a^5 (-1)^1 + C_6^2 a^4 (-1)^2 + C_6^3 a^3 (-1)^3 + C_6^4 a^2 (-1)^4 + C_6^5 a^1 (-1)^5 + C_6^6 a^0 (-1)^6$$ Вычислим биномиальные коэффициенты: * $$C_6^0 = 1$$ * $$C_6^1 = 6$$ * $$C_6^2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$$ * $$C_6^3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2} = 20$$ * $$C_6^4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$$ * $$C_6^5 = 6$$ * $$C_6^6 = 1$$ Подставим коэффициенты в разложение: $$(a - 1)^6 = 1 \cdot a^6 \cdot 1 + 6 \cdot a^5 \cdot (-1) + 15 \cdot a^4 \cdot 1 + 20 \cdot a^3 \cdot (-1) + 15 \cdot a^2 \cdot 1 + 6 \cdot a \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot 1$$ Упростим: $$(a - 1)^6 = a^6 - 6a^5 + 15a^4 - 20a^3 + 15a^2 - 6a + 1$$ Ответ: $$(a - 1)^6 = a^6 - 6a^5 + 15a^4 - 20a^3 + 15a^2 - 6a + 1$$