Задание 9. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь её поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы.

Решение:

1. Найдем площадь основания (ромба). Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Площадь ромба \( S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \).

\( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \) (ед. кв.)

2. Найдем сторону ромба. Половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. Катеты равны \( \frac{6}{2} = 3 \) и \( \frac{8}{2} = 4 \).

По теореме Пифагора, сторона ромба \( a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) (ед.)

3. Площадь боковой поверхности призмы \( S_{бок} \) равна произведению периметра основания на высоту (боковое ребро) \( h \).

\( P_{осн} = 4a = 4 \cdot 5 = 20 \) (ед.)

\( S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 20h \)

4. Полная площадь поверхности призмы \( S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} \).

\( 248 = 2 \cdot 24 + 20h \)

\( 248 = 48 + 20h \)

\( 20h = 248 - 48 \)

\( 20h = 200 \)

\( h = \frac{200}{20} = 10 \) (ед.)

Боковое ребро призмы равно её высоте.

Ответ: 10