Задание 70. Найдите угол х, используя данные рисунка. A. 7)

Решение:

PD - радиус. DM - касательная. \(\angle PDM = 90^\circ\).

Угол \(x\) - это \(\angle DPM\).

В треугольнике PDM, \(\angle PDM = 90^\circ\). \(\angle DPM = x\). \(\angle PMD = β\).

\(x + β = 90^\circ\).

На рисунке показано, что \(PD = PM\) (отмечено штрихами). Значит, треугольник PDM - равнобедренный.

Тогда \(\angle PDM = \angle PMD = 90^\circ\).

Это противоречит тому, что \(\angle PDM = 90^\circ\).

Возможно, \(PD = DM\) (радиус равен отрезку касательной). Тогда \(\angle DPM = \angle DMP\). \(\angle PDM = 90^\circ\).

\(\angle DPM + \angle DMP = 90^\circ\). \(x + x = 90^\circ \rightarrow 2x = 90^\circ \rightarrow x = 45^\circ\).

Но на рисунке отмечено, что \(PD = PM\). Если \(PD = PM\), то \(\triangle PDM\) - равнобедренный с основанием DM. Тогда \(\angle PDM = \angle PMD\).

\(\angle PDM = 90^\circ\). \(\angle PMD = 90^\circ\). Сумма углов в \(\triangle PDM\) будет \(x + 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \rightarrow x = 0^\circ\), что невозможно.

Возможно, \(PD\) и \(PM\) - радиусы. Тогда D и M лежат на окружности. PD = PM = радиус. \(\triangle PDM\) - равнобедренный.

\(x = \angle DPM\). \(\angle PDM = \angle PMD\).

Тогда \(x + 2 \times \angle PDM = 180^\circ\).

Но DM - касательная. Значит, \(\angle PDM = 90^\circ\).

Если \(PD = PM\) - радиусы, то \(\triangle PDM\) - равнобедренный. \(\angle PDM = \angle PMD\).

Если \(DM\) - касательная, то \(\angle PDM = 90^\circ\).

Следовательно, \(\angle PMD = 90^\circ\). Тогда \(\angle DPM = 180 - 90 - 90 = 0^\circ\), что невозможно.

Пересмотрим обозначение. P - центр окружности. D - точка касания. DM - касательная. \(\angle PDM = 90^\circ\). \(PD\) - радиус.

\(x\) - это \(\angle DPM\). \(M\) - точка на касательной. \(PM\) - отрезок.

Если \(PD = DM\), то \(\triangle PDM\) - равнобедренный. \(\angle DPM = \angle DMP = x\). \(\angle PDM = 90^\circ\). \(x + x + 90^\circ = 180^\circ \rightarrow 2x = 90^\circ \rightarrow x = 45^\circ\).

Ответ: 45°.