Задание 7. Решите уравнение: 25ˣ - 20 · 5ˣ - 125 = 0

Решение:

1. Перепишем уравнение, используя свойства степеней: \( (5^2)^x - 20 5^x - 125 = 0 \) \( (5^x)^2 - 20 5^x - 125 = 0 \)
2. Сделаем замену переменной: пусть \( t = 5^x \). Так как \( 5^x > 0 \) для любого \( x \), то \( t > 0 \).
3. Получим квадратное уравнение относительно \( t \): \( t^2 - 20t - 125 = 0 \).
4. Найдем дискриминант: \( D = (-20)^2 - 4(1)(-125) = 400 + 500 = 900 \).
5. Найдем корни уравнения: \( t_1 = \frac{20 + √900}{2} = \frac{20 + 30}{2} = \frac{50}{2} = 25 \) \( t_2 = \frac{20 - √900}{2} = \frac{20 - 30}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)
6. Учитывая условие \( t > 0 \), оставляем только \( t_1 = 25 \).
7. Вернемся к замене: \( 5^x = 25 \) \( 5^x = 5^2 \)
8. Приравнивая показатели степени, получим: \( x = 2 \).

Ответ: \( x = 2 \).