Задание 3 (26 баллов). Точки M(2; −7; 5) и N(4; −3; −1) принадлежат сфере и являются концами диаметра. а) Составьте уравнение сферы (18 баллов). б) Определите, принадлежит ли точка A(3; −1; −2) этой сфере (8 баллов).

а) Центр сферы — середина диаметра \(MN\):

\[C\left(\frac{2+4}{2};\frac{-7+(-3)}{2};\frac{5+(-1)}{2}\right)=(3;-5;2).\]

Найдём квадрат радиуса:

\[r^2=CM^2=(2-3)^2+(-7+5)^2+(5-2)^2=1+4+9=14.\]

Уравнение сферы с центром \(C(3;-5;2)\):

\[(x-3)^2+(y+5)^2+(z-2)^2=14.\]

б) Подставим координаты точки \(A(3;-1;-2)\):

\[(3-3)^2+(-1+5)^2+(-2-2)^2=0+16+16=32.\]

Так как \(32\ne14\), точка не удовлетворяет уравнению сферы.

Ответ: а) \((x-3)^2+(y+5)^2+(z-2)^2=14\); б) точка A сфере не принадлежит.