Задание 18. Имеется 2011 одинаковых по виду монет, среди которых либо две фальшивых, либо ни одной. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь узнать, есть ли фальшивые монеты или нет, если фальшивые монеты имеют одну и ту же массу, отличающуюся от массы настоящей монеты?

Разделим монеты на три группы: по 670 монет и одну оставшуюся монету.

Первое взвешивание: сравним две группы по 670 монет.

• Если чаши уравновесились, то в этих двух группах фальшивых нет либо в каждой группе находится по одной фальшивой. Вторым взвешиванием сравним одну группу из 670 монет с 670 монетами, оставшимися в третьей группе вместе с одной монетой. Если весы уравновесятся, фальшивых нет; если нет — фальшивые есть.
• Если чаши не уравновесились, то фальшивые монеты находятся среди двух взвешенных групп. Вторым взвешиванием сравним между собой две половины одной из этих групп: по 335 монет. При неравновесии фальшивые есть; при равновесии фальшивые могут находиться попарно в другой группе, поэтому сравнимость показывает наличие фальшивых в совокупности двух групп.

Таким образом, достаточно разделить монеты на три почти равные группы и использовать второе взвешивание для проверки подозрительной совокупности; наличие двух одинаково изменённых по массе монет определяется по нарушению равновесия.

Ответ: разделить монеты на группы 670, 670 и 671; двумя последовательными сравнениями установить, нарушается ли равновесие.