Задание 15. Все натуральные числа от 1 до 1000 записали в следующем порядке: сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем также в порядке возрастания числа с суммой цифр 2, потом — числа, сумма цифр которых равна 3, и т. д. На каком месте оказалось число 996?

Число 996 имеет сумму цифр \(9+9+6=24\). Значит, перед ним записаны все числа с суммой цифр от 1 до 23, а затем числа с суммой цифр 24, меньшие 996.

Количество чисел от 1 до 999 с суммой цифр \(s\) равно числу решений \(a+b+c=s\), где \(0\le a,b,c\le9\). Для \(s\le9\): \(\binom{s+2}{2}\); для больших значений используем включение–исключение.

Суммарное количество чисел с суммой цифр от 1 до 23 равно \(999-\) количество чисел с суммой цифр от 24 до 27. По симметрии распределения сумм цифр: количества для сумм 24, 25, 26, 27 равны соответственно \(10,6,3,1\). Поэтому получаем \(999-(10+6+3+1)=979\) чисел.

С суммой цифр 24, меньших 996, находятся числа 699, 789, 798, 879, 888, 897, 969, 978, 987 — всего 9 чисел. Следовательно, место числа 996:

\[979+9+1=989.\]

Ответ: 989-е место.