[Задание 16.2] Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 5/13. Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

Дано:

• Прямоугольник ABCD
• Синус угла между стороной и диагональю = $$\frac{5}{13}$$
• Диаметр описанной окружности $$d = 26$$

Решение:

1. Связь диагонали прямоугольника и диаметра окружности: Диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, является диаметром этой окружности. Следовательно, диагональ прямоугольника равна 26.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник: Пусть стороны прямоугольника — $$a$$ и $$b$$, а диагональ — $$d$$. Угол между стороной $$a$$ и диагональю $$d$$ обозначим как α. Тогда \[ \sin(\alpha) = \frac{b}{d} \].
3. Находим одну из сторон прямоугольника: По условию, \[ \sin(\alpha) = \frac{5}{13} \]. Также мы знаем, что $$d = 26$$. Подставляем в формулу: \[ \frac{b}{26} = \frac{5}{13} \] \[ b = 26 \times \frac{5}{13} = 2 \times 5 = 10 \].
4. Находим другую сторону прямоугольника: Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами $$a$$, $$b$$ и диагональю $$d$$: $$a^2 + b^2 = d^2$$. \[ a^2 + 10^2 = 26^2 \] \[ a^2 + 100 = 676 \] \[ a^2 = 676 - 100 = 576 \] \[ a = \sqrt{576} = 24 \].
5. Вычисляем площадь прямоугольника: Площадь прямоугольника $$S = a \times b$$. \[ S = 24 \times 10 = 240 \].

Ответ: 240