[Задание 16.3] Диагональ АС ромба ABCD равна 16, а tg BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — О. Тогда \( AO = OC = \frac{1}{2} AC \). Диагональ \( AC = 16 \), значит \( AO = 16 / 2 = 8 \).

В прямоугольном треугольнике \( BOC \) имеем \( \text{tg} ∠ BCA = \frac{OB}{OC} \). Нам дано \( \text{tg} ∠ BCA = 0.75 \) и \( OC = 8 \).

Тогда \( OB = OC · \text{tg} ∠ BCA = 8 · 0.75 = 6 \).

Диагональ \( BD = 2 · OB = 2 · 6 = 12 \).

Радиус вписанной окружности в ромб равен высоте, опущенной из центра на сторону. В прямоугольном треугольнике \( BOC \) проведем высоту \( OH \) к гипотенузе \( BC \). Эта высота и будет радиусом вписанной окружности.

Площадь треугольника \( BOC \) равна \( S = \frac{1}{2} · OB · OC = \frac{1}{2} · 6 · 8 = 24 \).

Также площадь треугольника \( BOC \) равна \( S = \frac{1}{2} · BC · OH \). Найдем длину стороны \( BC \) по теореме Пифагора из \( △ BOC \): \( BC^2 = OB^2 + OC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \). Следовательно, \( BC = √{100} = 10 \).

Теперь найдем радиус \( OH \): \( 24 = \frac{1}{2} · 10 · OH \). \( 24 = 5 · OH \). \( OH = \frac{24}{5} = 4.8 \).

Радиус вписанной окружности равен 4.8.

Ответ: 4.8