Задание 10: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма первых четырех ее членов равна 30. Чему равен первый член данной геометрической прогрессии?

Решение:

Дано:

\( S = 32 \)

\( S_4 = 30 \)

Найти: \( b_1 \)

Используем формулы:

1. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \( S = \frac{b_1}{1 - q} \)

2. Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии: \( S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \)

Из первой формулы выразим \( 1 - q \):

\[ 1 - q = \frac{b_1}{S} = \frac{b_1}{32} \]

Подставим это выражение во вторую формулу для \( S_4 \):

\[ S_4 = b_1 \frac{1 - q^4}{1 - q} \]

\[ 30 = b_1 \frac{1 - q^4}{\frac{b_1}{32}} \]

\[ 30 = 32 (1 - q^4) \]

Разделим обе части на 32:

\[ \frac{30}{32} = 1 - q^4 \]

\[ \frac{15}{16} = 1 - q^4 \]

Теперь найдем \( q^4 \):

\[ q^4 = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16} \]

Отсюда \( q = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \pm \frac{1}{2} \).

Для бесконечно убывающей прогрессии должно выполняться условие \( |q| < 1 \), что выполняется для обоих значений \( q = \frac{1}{2} \) и \( q = -\frac{1}{2} \).

Теперь найдем \( b_1 \) из формулы \( 1 - q = \frac{b_1}{32} \) для каждого случая:

Случай 1: \( q = \frac{1}{2} \)

\[ 1 - \frac{1}{2} = \frac{b_1}{32} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{b_1}{32} \]

\[ b_1 = 32 \cdot \frac{1}{2} = 16 \]

Случай 2: \( q = -\frac{1}{2} \)

\[ 1 - (-\frac{1}{2}) = \frac{b_1}{32} \]

\[ 1 + \frac{1}{2} = \frac{b_1}{32} \]

\[ \frac{3}{2} = \frac{b_1}{32} \]

\[ b_1 = 32 \cdot \frac{3}{2} = 16 \cdot 3 = 48 \]

По условию задачи, сумма бесконечно убывающей прогрессии равна 32. Если \( b_1 = 48 \), то \( q = -1/2 \), сумма равна \( S = \frac{48}{1 - (-1/2)} = \frac{48}{3/2} = 32 \). Если \( b_1 = 16 \), то \( q = 1/2 \), сумма равна \( S = \frac{16}{1 - 1/2} = \frac{16}{1/2} = 32 \). Оба значения подходят.

Однако, если \( b_1 = 48 \) и \( q = -1/2 \), то \( S_4 = 48 \frac{1 - (-1/2)^4}{1 - (-1/2)} = 48 \frac{1 - 1/16}{3/2} = 48 \frac{15/16}{3/2} = 48 \frac{15}{16} \frac{2}{3} = 48 \frac{30}{48} = 30 \). Это соответствует условию.

Если \( b_1 = 16 \) и \( q = 1/2 \), то \( S_4 = 16 \frac{1 - (1/2)^4}{1 - 1/2} = 16 \frac{1 - 1/16}{1/2} = 16 \frac{15/16}{1/2} = 16 \frac{15}{16} 2 = 30 \). Это тоже соответствует условию.

В задании не указано, что знаменатель отрицательный, поэтому оба случая возможны. Однако, обычно в таких задачах подразумевается однозначное решение. Обратим внимание на формулировку "первый член".

В случае \( b_1 = 16 \) и \( q = 1/2 \) получаем прогрессию 16, 8, 4, 2, ... Сумма бесконечной равна 32, сумма первых четырех равна 16+8+4+2=30.

В случае \( b_1 = 48 \) и \( q = -1/2 \) получаем прогрессию 48, -24, 12, -6, ... Сумма бесконечной равна 32, сумма первых четырех равна 48-24+12-6=30.

Оба варианта подходят. Но если предположить, что речь идет о "первом члене" в смысле самого первого члена, который нам нужно найти, то оба варианта \( b_1 = 16 \) и \( b_1 = 48 \) являются правильными.

Учитывая, что в подобных задачах часто подразумевается уникальный ответ, и не указаны дополнительные ограничения (например, что все члены прогрессии положительны), оба варианта могут быть верными.

Однако, если мы должны выбрать один ответ, и учитывая, что задача может быть составлена так, чтобы иметь единственный ответ, то обратим внимание на типичные задачи. Часто в таких случаях либо \( q \) бывает положительным, либо \( b_1 \) является наименьшим из возможных положительных.

Поскольку нет дополнительных уточнений, и оба варианта дают верный результат, оставим оба.

Ответ: 16 или 48.