Задание 10. Решите уравнение: 16^x + 3 * 4^x - 4 = 0.

Решение:

Заметим, что \( 16^x = (4^2)^x = (4^x)^2 \). Сделаем замену переменной. Пусть \( t = 4^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ t^2 + 3t - 4 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( t \). Найдем его корни:

\[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]\[ t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \]\[ t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \]

Теперь вернемся к замене \( t = 4^x \):

• Случай 1: \( t_1 = 1 \)

\[ 4^x = 1 \]\[ 4^x = 4^0 \]\[ x = 0 \

Случай 2: \( t_2 = -4 \)

\[ 4^x = -4 \]

Показательная функция \( 4^x \) всегда положительна, поэтому уравнение \( 4^x = -4 \) не имеет решений.

Ответ: 0.