Задание 5. Решите систему уравнений x² + y² = 45 xy = 18

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 45 \\ xy = 18 \end{cases} $$ Выразим y из второго уравнения: $$ y = \frac{18}{x} $$. Подставим в первое уравнение: $$ x^2 + (\frac{18}{x})^2 = 45 $$ $$ x^2 + \frac{324}{x^2} = 45 $$ $$ x^4 + 324 = 45x^2 $$ $$ x^4 - 45x^2 + 324 = 0 $$ Пусть $$ z = x^2 $$, тогда $$ z^2 - 45z + 324 = 0 $$ $$ D = (-45)^2 - 4(1)(324) = 2025 - 1296 = 729 $$ $$ z_1 = \frac{45 + \sqrt{729}}{2} = \frac{45 + 27}{2} = \frac{72}{2} = 36 $$ $$ z_2 = \frac{45 - \sqrt{729}}{2} = \frac{45 - 27}{2} = \frac{18}{2} = 9 $$ Если $$ z = 36 $$, то $$ x^2 = 36 $$, $$ x = \pm 6 $$ Если $$ z = 9 $$, то $$ x^2 = 9 $$, $$ x = \pm 3 $$ Если $$ x = 6 $$, то $$ y = \frac{18}{6} = 3 $$ Если $$ x = -6 $$, то $$ y = \frac{18}{-6} = -3 $$ Если $$ x = 3 $$, то $$ y = \frac{18}{3} = 6 $$ Если $$ x = -3 $$, то $$ y = \frac{18}{-3} = -6 $$ Решения: (6, 3), (-6, -3), (3, 6), (-3, -6).

Ответ: (6, 3), (-6, -3), (3, 6), (-3, -6)