320. (Задача-исследование.) Дана линейная функция y = kx + 4. При каком значении k график этой функции: a) параллелен графику прямой пропорциональности y = -x; б) не пересекает ось абсцисс; в) пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой 3; г) проходит через точку пересечения графиков функций y = 12 - x и y = x + 4? Обсудите ответы на поставленные вопросы.

Дана линейная функция $$y = kx + 4$$. Определим значения $$k$$, при которых выполняются заданные условия.

a) Параллелен графику прямой пропорциональности $$y = -x$$.

Для параллельности графиков линейных функций необходимо равенство их угловых коэффициентов. Следовательно, $$k = -1$$.

б) Не пересекает ось абсцисс.

График линейной функции всегда пересекает ось абсцисс, если он не является горизонтальной прямой, не совпадающей с осью абсцисс. В данном случае, функция $$y = kx + 4$$ имеет свободный член 4, поэтому она всегда пересекает ось абсцисс, если только $$k$$ не равно 0. Если $$k = 0$$, то $$y = 4$$, и график не пересекает ось абсцисс, а является горизонтальной прямой.

в) Пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой 3.

Если график пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой 3, то при $$x = 3$$ значение $$y = 0$$. Подставим эти значения в уравнение: $$0 = k \cdot 3 + 4$$. Тогда $$3k = -4$$, $$k = -\frac{4}{3}$$.

г) Проходит через точку пересечения графиков функций $$y = 12 - x$$ и $$y = x + 4$$.

Найдем точку пересечения графиков функций $$y = 12 - x$$ и $$y = x + 4$$. Для этого приравняем правые части уравнений: $$12 - x = x + 4$$. Тогда $$2x = 8$$, $$x = 4$$. Подставим найденное значение $$x$$ в одно из уравнений, например, $$y = x + 4$$, чтобы найти $$y$$: $$y = 4 + 4 = 8$$. Таким образом, точка пересечения имеет координаты (4, 8). Подставим эти координаты в уравнение $$y = kx + 4$$: $$8 = k \cdot 4 + 4$$. Тогда $$4k = 4$$, $$k = 1$$.

Ответ:

• a) $$k = -1$$
• б) $$k = 0$$
• в) $$k = -\frac{4}{3}$$
• г) $$k = 1$$