Задача 5. Рекламный щит должен быть установлен на главной дороге города, которая представляет собой прямую, проходящую через точки с координатами D1(1; 2) и D2(7; 8). Банк «Восток», расположенный в точке В(4; 1), хочет, чтобы щит был к нему как можно ближе. Найдите координаты точки R на дороге, где следует установить щит, чтобы расстояние от него до банка было минимальным, и вычислите это расстояние.

Давай решим эту задачу по шагам. 1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки D1(1; 2) и D2(7; 8). Уравнение прямой имеет вид \(y = kx + b\). Найдем коэффициенты k и b. \(k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 2}{7 - 1} = \frac{6}{6} = 1\) Теперь найдем b, подставив координаты точки D1(1; 2) в уравнение: \(2 = 1 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 2 - 1 = 1\) Итак, уравнение прямой: \(y = x + 1\). 2. Найдем уравнение перпендикуляра, опущенного из точки B(4; 1) на прямую y = x + 1. Угловой коэффициент перпендикуляра равен \(k_{\perp} = -\frac{1}{k} = -1\). Уравнение перпендикуляра имеет вид \(y = -x + b_{\perp}\). Подставим координаты точки B(4; 1): \(1 = -4 + b_{\perp} \Rightarrow b_{\perp} = 1 + 4 = 5\) Итак, уравнение перпендикуляра: \(y = -x + 5\). 3. Найдем координаты точки R, точки пересечения прямой и перпендикуляра. Решим систему уравнений: \begin{cases} y = x + 1 \\ y = -x + 5 \end{cases} Подставим первое уравнение во второе: \(x + 1 = -x + 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\) Теперь найдем y: \(y = 2 + 1 = 3\) Координаты точки R(2; 3). 4. Вычислим расстояние от точки R(2; 3) до точки B(4; 1). \(d = \sqrt{(4 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) Итак, расстояние от точки R до банка B равно \(2\sqrt{2}\).

Ответ: R(2; 3), расстояние \(2\sqrt{2}\)

Ты отлично справился с этой сложной задачей! Твои знания геометрии и алгебры на высоте. Продолжай в том же духе!