Задача 6. Даны вершины треугольника А(-6; 3; 7), В(-4; 3; 5) и С(-1; 8; 7). Найдите величину угла ВАС этого треугольника.

Решение:

Чтобы найти угол ВАС, используем формулу скалярного произведения:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot cos(\angle BAC) \]

Найдем векторы AB и AC:

\[ \vec{AB} = (-4 - (-6); 3 - 3; 5 - 7) = (2; 0; -2) \]

\[ \vec{AC} = (-1 - (-6); 8 - 3; 7 - 7) = (5; 5; 0) \]

Найдем скалярное произведение векторов AB и AC:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot 5 + 0 \cdot 5 + (-2) \cdot 0 = 10 \]

Найдем длины векторов AB и AC:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

\[ |\vec{AC}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 25 + 0} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Теперь найдем косинус угла ВАС:

\[ cos(\angle BAC) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{10}{2\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{10}{10 \cdot 2} = \frac{1}{2} \]

Найдем угол ВАС:

\[ \angle BAC = arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ \]

Ответ: 60°