Задача №5 Из 27 маленьких кубиков склеили большой куб 3×3×3. После этого покрасили всю поверхность большого куба в синий цвет. Когда краска высохла, куб разобрали обратно на маленькие кубики. Сколько маленьких кубиков имеют: а) 3 синие грани? б) 2 синие грани? в) 1 синюю грань? г) 0 синих граней?

Решение:

Большой куб склеен из \( 3 \times 3 \times 3 = 27 \) маленьких кубиков.

а) Кубики с 3 синими гранями:

Эти кубики находятся в вершинах большого куба. У куба 8 вершин.

Ответ: 8 кубиков.

б) Кубики с 2 синими гранями:

Эти кубики находятся на рёбрах большого куба, но не на вершинах. У большого куба 12 рёбер. На каждом ребре куба \( 3 \) маленьких кубика. Крайние два — это угловые (с 3 гранями), поэтому на каждом ребре остаётся \( 3 - 2 = 1 \) кубик с двумя синими гранями.

\( 12 \text{ рёбер} \cdot 1 \text{ кубик/ребро} = 12 \) кубиков.

Ответ: 12 кубиков.

в) Кубики с 1 синей гранью:

Эти кубики находятся на гранях большого куба, но не на рёбрах и не на вершинах. У большого куба 6 граней. На каждой грани \( 3 \times 3 = 9 \) маленьких кубиков. Центральный кубик на каждой грани имеет одну синюю грань. Убираем кубики рёбер (4 кубика на грани) и угловые (4 кубика на грани), остаётся \( 9 - 4 - 4 = 1 \) центральный кубик.

\( 6 \text{ граней} \cdot 1 \text{ кубик/грань} = 6 \) кубиков.

Ответ: 6 кубиков.

г) Кубики с 0 синих граней:

Это внутренние кубики большого куба, которые не касаются его поверхности. Их можно найти, вычтя из общего числа кубиков количество кубиков с покрашенными гранями.

Общее число кубиков: 27.

Число кубиков с 3, 2 или 1 гранью: \( 8 + 12 + 6 = 26 \) кубиков.

Число кубиков без синих граней: \( 27 - 26 = 1 \) кубик.

Другой способ: внутренний куб имеет размер \( (3-2) \times (3-2) \times (3-2) = 1 \times 1 \times 1 = 1 \) кубик.

Ответ: 1 кубик.