Задача 5. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) угол A равен 60°. На катете BC отметили точку D так, что ∠CAD = 30°. Известно, что BD = 4 см. Найдите длину гипотенузы AB.

Так как \(\angle A=60^\circ\), а \(\angle CAD=30^\circ\), то \[\angle DAB=60^\circ-30^\circ=30^\circ.\] Поскольку \(D\) лежит на катете \(BC\), угол \(ADB\) является дополнением угла между \(AD\) и \(AC\), поэтому \(\angle ADB=60^\circ\). Следовательно, треугольник \(ABD\) имеет углы \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\).

В треугольнике \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) сторона, лежащая напротив угла \(30^\circ\,\), равна половине гипотенузы. Сторона \(BD=4\) см лежит напротив угла \(30^\circ\), поэтому \[AB=2BD=8\text{ см}.\]

Ответ: 8 см.