Задача 4. Прямоугольный треугольник имеет острый угол 60°. К меньшему катету провели медиану. Длина этой медианы равна 10 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Пусть меньший катет равен \(a\), а гипотенуза — \(c\). В треугольнике с углом \(60^\circ\) \(a=\frac c2\).

Медиана к катету имеет длину \[m=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2},\] где \(b=\frac{\sqrt3}{2}c\). Тогда \[m^2=\frac14\left(2\cdot\frac34c^2+2c^2-\frac14c^2\right)=\frac34c^2.\] Значит, \[m=\frac{sqrt3}{2}c.\] При \(m=10\): \[c=\frac{20}{\sqrt3}=\frac{20\sqrt3}{3}\text{ см}.\]

Ответ: \(\frac{20\sqrt3}{3}\) см.