Задача 15. В двух филиалах компании вместе работают 50 сотрудников. Средняя месячная выручка на одного сотрудника в первом филиале составляет 430 000 Р, а во втором — 510 000 Р. Известно, что средняя месячная выручка на одного сотрудника по двум филиалам вместе составляет 462 000 Р. Сколько сотрудников работает в каждом филиале? Обоснуйте ответ.

Решение:

Пусть \( n_1 \) — количество сотрудников в первом филиале, а \( n_2 \) — количество сотрудников во втором филиале.

Всего сотрудников: \( n_1 + n_2 = 50 \).

Средняя выручка на одного сотрудника в первом филиале: \( v_1 = 430 000 \) Р.

Средняя выручка на одного сотрудника во втором филиале: \( v_2 = 510 000 \) Р.

Общая выручка первого филиала: \( V_1 = n_1 \cdot v_1 = 430 000 n_1 \).

Общая выручка второго филиала: \( V_2 = n_2 \cdot v_2 = 510 000 n_2 \).

Общая выручка обоих филиалов: \( V_{общая} = V_1 + V_2 = 430 000 n_1 + 510 000 n_2 \).

Средняя выручка на одного сотрудника по двум филиалам вместе: \( v_{общая} = 462 000 \) Р.

Общее количество сотрудников: \( n_1 + n_2 = 50 \).

Общая выручка по двум филиалам: \( V_{общая} = (n_1 + n_2) \cdot v_{общая} = 50 \cdot 462 000 = 23 100 000 \) Р.

Теперь приравняем два выражения для общей выручки:

\( 430 000 n_1 + 510 000 n_2 = 23 100 000 \)

Разделим обе части уравнения на 1000:

\( 430 n_1 + 510 n_2 = 23 100 \)

Мы имеем систему уравнений:

1) \( n_1 + n_2 = 50 \)

2) \( 430 n_1 + 510 n_2 = 23 100 \)

Из первого уравнения выразим \( n_2 \): \( n_2 = 50 - n_1 \).

Подставим во второе уравнение:

\( 430 n_1 + 510 (50 - n_1) = 23 100 \)

\( 430 n_1 + 25 500 - 510 n_1 = 23 100 \)

\( -80 n_1 = 23 100 - 25 500 \)

\( -80 n_1 = -2400 \)

\( n_1 = \frac{-2400}{-80} = 30 \).

Теперь найдём \( n_2 \):

\( n_2 = 50 - n_1 = 50 - 30 = 20 \).

Проверка:

Общая выручка = \( 30 \cdot 430 000 + 20 \cdot 510 000 = 12 900 000 + 10 200 000 = 23 100 000 \).

Средняя выручка = \( \frac{23 100 000}{50} = 462 000 \).

Ответ: В первом филиале работает 30 сотрудников, а во втором — 20 сотрудников.