Высота BD треугольника АВС делит его сторону АС на отрезки AD и CD. Найдите сторону ВС, если АВ = 4√6 см, CD = 3 см, ∠ABD = 30°.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABD (так как BD — высота, \( \angle BDA = 90° \)):

1. Найдем сторону \( BD \) по теореме Пифагора или через тригонометрию.
2. Через тригонометрию: \( \sin(\angle ABD) = \frac{AD}{AB} \) и \( \cos(\angle ABD) = \frac{BD}{AB} \).
3. \( \angle ABD = 30° \), \( AB = 4\sqrt{6} \) см.
4. \( BD = AB \cdot \cos(30°) = 4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) см.
5. \( AD = AB \cdot \sin(30°) = 4\sqrt{6} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{6} \) см.
6. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDC (так как BD — высота, \( \angle BDC = 90° \)).
7. У нас есть \( BD = 6\sqrt{2} \) см и \( CD = 3 \) см.
8. Найдем сторону \( BC \) по теореме Пифагора: \( BC^2 = BD^2 + CD^2 \)
9. \( BC^2 = (6\sqrt{2})^2 + 3^2 \)
10. \( BC^2 = (36 \cdot 2) + 9 \)
11. \( BC^2 = 72 + 9 \)
12. \( BC^2 = 81 \)
13. \( BC = \sqrt{81} = 9 \) см.

Ответ: 9 см.