Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции \( a = 20 \) см (большее) и \( b = 10 \) см (меньшее). Диагональ \( AC \) является биссектрисой тупого угла \( \angle DAB \).

1. В равнобокой трапеции боковые стороны равны \( c \).
2. Так как \( AC \) — биссектриса \( \angle DAB \), то \( \angle DAC = \angle CAB \).
3. \( AB \parallel CD \) (по условию, это трапеция).
4. \( \angle CAB = \angle ACD \) как накрест лежащие при параллельных \( AB \) и \( CD \) и секущей \( AC \).
5. Из \( \angle DAC = \angle CAB \) и \( \angle CAB = \angle ACD \) следует, что \( \angle DAC = \angle ACD \).
6. В треугольнике \( ADC \) углы при основании \( AC \) равны, значит, треугольник \( ADC \) равнобедренный с \( AD = CD \).
7. Так как \( CD \) — основание, то \( AD = b = 10 \) см.
8. Но \( AD \) — это боковая сторона, а \( CD \) — основание. Значит, \( c = 10 \) см.
9. Итак, боковая сторона равнобокой трапеции равна меньшему основанию: \( c = 10 \) см.
10. Чтобы найти площадь трапеции \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), нам нужно найти высоту \( h \).
11. Опустим высоту \( BK \) из вершины \( B \) на основание \( AD \).
12. В равнобокой трапеции \( AK = \frac{a-b}{2} = \frac{20-10}{2} = 5 \) см.
13. В прямоугольном треугольнике \( ABK \) (где \( AB = c = 10 \) см, \( AK = 5 \) см) найдем высоту \( BK = h \) по теореме Пифагора:
14. \( h^2 = AB^2 - AK^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75 \)
15. \( h = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \) см.
16. Теперь вычисляем площадь трапеции:
17. \( S = \frac{20+10}{2} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{30}{2} \cdot 5\sqrt{3} = 15 \cdot 5\sqrt{3} = 75\sqrt{3} \) см².

Ответ: 75\(\sqrt{3}\) см².