5. Высота BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки AD и DC, AB = 12 см, ∠A = 60°, ∠CBD=45°. Найдите сторону AC треугольника.

Рассмотрим треугольник ABD. Он прямоугольный (так как BD - высота), ∠A = 60°, значит ∠ABD = 90° - 60° = 30°. В прямоугольном треугольнике ABD: \( sin A = \frac{BD}{AB} \) \( sin 60° = \frac{BD}{12} \) \( BD = 12 * sin 60° = 12 * \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) \( cos A = \frac{AD}{AB} \) \( cos 60° = \frac{AD}{12} \) \( AD = 12 * cos 60° = 12 * \frac{1}{2} = 6 \) Рассмотрим треугольник CBD. Он прямоугольный (так как BD - высота), ∠CBD = 45°, значит ∠BCD = 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник CBD равнобедренный, и BD = DC. Таким образом, DC = BD = \( 6\sqrt{3} \). AC = AD + DC = 6 + \( 6\sqrt{3} \) = \( 6(1 + \sqrt{3}) \) Ответ: AC = \( 6(1 + \sqrt{3}) \) см.