Вычислите: $$\sin 45^{\circ} \cdot \sin 420^{\circ}$$.

Сначала найдем значение $$\sin 45^{\circ}$$. Мы знаем, что $$\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. Теперь найдем значение $$\sin 420^{\circ}$$. Поскольку синус — периодическая функция с периодом $$360^{\circ}$$, мы можем записать: $$\sin 420^{\circ} = \sin (420^{\circ} - 360^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Теперь перемножим значения: $$\sin 45^{\circ} \cdot \sin 420^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$$. Ответ: $$\frac{\sqrt{6}}{4}$$