Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y= x, y = 5 – x, x = 1, x = 2, используя определенный интеграл.

Решение:

Площадь фигуры находится как определенный интеграл от верхней функции минус нижняя функция по заданному интервалу.

Верхняя функция: \( y = 5 - x \) (так как для \( x \) от 1 до 2, \( 5-x > x \)).

Нижняя функция: \( y = x \).

Интеграл:

\[ S = \int_{1}^{2} ((5 - x) - x) dx = \int_{1}^{2} (5 - 2x) dx \]

Вычисляем интеграл:

\[ S = \left[ 5x - x^2 \right]_{1}^{2} = (5 \cdot 2 - 2^2) - (5 \cdot 1 - 1^2) = (10 - 4) - (5 - 1) = 6 - 4 = 2 \]

Ответ: 2