Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x, y=6–x, x=0, x=2x=2.

Решение:

Найдем точку пересечения функций \( y = 2x \) и \( y = 6 - x \):

\[ 2x = 6 - x \implies 3x = 6 \implies x = 2 \]

Так как точка пересечения \( x = 2 \) совпадает с границей интервала, нам нужно определить, какая функция является верхней на интервале \( [0, 2] \).

Проверим значение функций в точке \( x = 1 \):

\( y_1 = 2 \cdot 1 = 2 \)

\( y_2 = 6 - 1 = 5 \)

Значит, \( y = 6 - x \) — верхняя функция, а \( y = 2x \) — нижняя.

Площадь находится как интеграл:

\[ S = \int_{0}^{2} ((6 - x) - 2x) dx = \int_{0}^{2} (6 - 3x) dx \]

Вычисляем интеграл:

\[ S = \left[ 6x - \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \left( 6 \cdot 2 - \frac{3 \cdot 2^2}{2} \right) - (6 \cdot 0 - \frac{3 \cdot 0^2}{2}) = \left( 12 - \frac{12}{2} \right) - 0 = 12 - 6 = 6 \]

Ответ: 6