3. Вычислите косинус угла между векторами \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\), если \(\vec{p} {3;-1}\), \(\vec{q} {15;8}\).

Решение:

Косинус угла между векторами \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) вычисляется по формуле:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}| \cdot |\vec{q}|}\]

Сначала найдем скалярное произведение \(\vec{p} \cdot \vec{q}\):

\[\vec{p} \cdot \vec{q} = 3 \cdot 15 + (-1) \cdot 8 = 45 - 8 = 37\]

Теперь найдем длины векторов \(|\vec{p}|\) и \(|\vec{q}|\):

\[|\vec{p}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\] \[|\vec{q}| = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\]

Подставим найденные значения в формулу для косинуса:

\[\cos(\theta) = \frac{37}{\sqrt{10} \cdot 17} = \frac{37}{17\sqrt{10}}\]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{10}\):

\[\cos(\theta) = \frac{37\sqrt{10}}{17 \cdot 10} = \frac{37\sqrt{10}}{170}\]

Ответ: Косинус угла между векторами \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) равен \(\frac{37\sqrt{10}}{170}\).

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно вычислил скалярное произведение и длины векторов.

Доп. профит: Читерский прием: Если косинус угла равен 0, то векторы перпендикулярны. Если косинус равен 1 или -1, то векторы коллинеарны.