4. Даны векторы \(\vec{a} {2;-3}\) и \(\vec{b} {x;-4}\). При каком значении x эти векторы перпендикулярны?

Решение:

Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]

Скалярное произведение векторов \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) и \(\vec{b} = (x_2, y_2)\) вычисляется по формуле:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\]

В данном случае:

• \(\vec{a} = (2, -3)\)
• \(\vec{b} = (x, -4)\)

Подставим значения в формулу:

\[2 \cdot x + (-3) \cdot (-4) = 0\] \[2x + 12 = 0\] \[2x = -12\] \[x = -6\]

Ответ: Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны при \(x = -6\).

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно составил уравнение скалярного произведения и решил его.

Уровень Эксперт: Перпендикулярность векторов можно использовать для построения ортогональных базисов в линейной алгебре.