Вычислите \( \frac{\cos 120^{\circ} \cos 50^{\circ} + \sin 120^{\circ} \sin 50^{\circ}}{\cos 25^{\circ} \cos 45^{\circ} - \sin 25^{\circ} \sin 45^{\circ}} \).

Решение:

Воспользуемся формулами косинуса разности:

\( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)

\( \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \)

Числитель дроби: \( \cos 120^{\circ} \cos 50^{\circ} + \sin 120^{\circ} \sin 50^{\circ} = \cos(120^{\circ} - 50^{\circ}) = \cos(70^{\circ}) \).

Знаменатель дроби: \( \cos 25^{\circ} \cos 45^{\circ} - \sin 25^{\circ} \sin 45^{\circ} = \cos(25^{\circ} + 45^{\circ}) = \cos(70^{\circ}) \).

Теперь вычислим значение дроби:

\( \frac{\cos(70^{\circ})}{\cos(70^{\circ})} = 1 \).

Ответ: 1.