Известно, что \( \operatorname{tg} \alpha = -\frac{4}{3} \) и \( \frac{7\pi}{2} < \alpha < 4\pi \). Найдите \( \sin \alpha \).

Решение:

Условие \( \frac{7\pi}{2} < \alpha < 4\pi \) означает, что угол \( \alpha \) находится в четвертой четверти (так как \( \frac{7\pi}{2} = 3.5\pi \), а \( 4\pi = 4\pi \)).

В четвертой четверти \( \sin \alpha < 0 \) и \( \cos \alpha > 0 \).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \).

\( 1 + (-\frac{4}{3})^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{9+16}{9} = \frac{25}{9} \).

Значит, \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{25}{9} \), откуда \( \cos^2 \alpha = \frac{9}{25} \).

Так как \( \alpha \) в четвертой четверти, \( \cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \).

Теперь найдём \( \sin \alpha \) через \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \):

\( \sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = (-\frac{4}{3}) \cdot \frac{3}{5} = -\frac{4}{5} \).

Ответ: \( -\frac{4}{5} \).