1. Вычислить, отметив угол на окружности: a) cos 870°; 6) sin 23π; Β) cos(-17π/3); г) tg(25π/6); д) ctg(-17π/4)

Давай вычислим значения тригонометрических функций, отметив углы на окружности. a) \( cos(870^\circ) \) Сначала определим, какому углу на единичной окружности соответствует угол \( 870^\circ \). Для этого вычтем из него полные обороты по \( 360^\circ \): \[ 870^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 870^\circ - 720^\circ = 150^\circ \] Таким образом, \( cos(870^\circ) = cos(150^\circ) \). Угол \( 150^\circ \) находится во второй четверти, и его косинус отрицателен. \( 150^\circ = 180^\circ - 30^\circ \), поэтому \[ cos(150^\circ) = -cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] б) \( sin(23\pi) \) Чтобы найти \( sin(23\pi) \), определим, какому углу на единичной окружности соответствует угол \( 23\pi \). Для этого вычтем из него полные обороты по \( 2\pi \): \[ 23\pi - 11 \cdot 2\pi = 23\pi - 22\pi = \pi \] Таким образом, \( sin(23\pi) = sin(\pi) = 0 \). в) \( cos(-\frac{17\pi}{3}) \) Чтобы найти \( cos(-\frac{17\pi}{3}) \), определим, какому углу на единичной окружности соответствует угол \( -\frac{17\pi}{3} \). Для этого прибавим к нему полные обороты по \( 2\pi \): \[ -\frac{17\pi}{3} + 3 \cdot 2\pi = -\frac{17\pi}{3} + \frac{18\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \] Таким образом, \( cos(-\frac{17\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \). г) \( tg(\frac{25\pi}{6}) \) Чтобы найти \( tg(\frac{25\pi}{6}) \), определим, какому углу на единичной окружности соответствует угол \( \frac{25\pi}{6} \). Для этого вычтем из него полные обороты по \( 2\pi \): \[ \frac{25\pi}{6} - 2 \cdot 2\pi = \frac{25\pi}{6} - \frac{24\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \] Таким образом, \( tg(\frac{25\pi}{6}) = tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \). д) \( ctg(-\frac{17\pi}{4}) \) Чтобы найти \( ctg(-\frac{17\pi}{4}) \), определим, какому углу на единичной окружности соответствует угол \( -\frac{17\pi}{4} \). Для этого прибавим к нему полные обороты по \( 2\pi \): \[ -\frac{17\pi}{4} + 3 \cdot 2\pi = -\frac{17\pi}{4} + \frac{24\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \] Таким образом, \( ctg(-\frac{17\pi}{4}) = ctg(\frac{7\pi}{4}) \). Угол \( \frac{7\pi}{4} \) находится в четвертой четверти, и его котангенс отрицателен. \( \frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4} \), поэтому \[ ctg(\frac{7\pi}{4}) = -ctg(\frac{\pi}{4}) = -1 \]

Ответ:

a) \( cos(870^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

б) \( sin(23\pi) = 0 \)

в) \( cos(-\frac{17\pi}{3}) = \frac{1}{2} \)

г) \( tg(\frac{25\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

д) \( ctg(-\frac{17\pi}{4}) = -1 \)

Ты молодец! У тебя всё получится!