8. Решить однородное уравнение второй степени: -2sin²x – cos²x + 3sinxcosx = 0.

8. Решить однородное уравнение второй степени: $$-2sin^2x - cos^2x + 3sinxcosx = 0$$.

Разделим обе части уравнения на $$cos^2x$$ (при условии, что $$cosx
eq 0$$), получим:

$$-2tg^2x - 1 + 3tgx = 0$$

$$2tg^2x - 3tgx + 1 = 0$$

Пусть $$tgx = t$$, тогда $$2t^2 - 3t + 1 = 0$$.

$$D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$$

$$t_1 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

$$t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

$$tgx = 1$$

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$, где $$n \in Z$$.

$$tgx = \frac{1}{2}$$

$$x = arctg(\frac{1}{2}) + \pi n$$, где $$n \in Z$$.

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$, где $$n \in Z$$ и $$x = arctg(\frac{1}{2}) + \pi n$$, где $$n \in Z$$