Вписанный угол MNK равен 30°. Найдите дугу MN, если известно, что \(\stackrel{\frown}{MN} : \stackrel{\frown}{NK} = 7:8\).

Дано: \(\angle MNK = 30^\circ\), \(\stackrel{\frown}{MN} : \stackrel{\frown}{NK} = 7:8\). Найти: \(\stackrel{\frown}{MN}\). Решение: 1. Вписанный угол \(\angle MNK\) опирается на дугу MK. Значит, \(\stackrel{\frown}{MK} = 2 \cdot \angle MNK = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\). 2. Пусть \(\stackrel{\frown}{MN} = 7x\) и \(\stackrel{\frown}{NK} = 8x\). 3. Тогда \(\stackrel{\frown}{MK} = \stackrel{\frown}{MN} + \stackrel{\frown}{NK} = 7x + 8x = 15x\). 4. Получаем уравнение: \(15x = 60^\circ\). 5. Решаем уравнение: \(x = \frac{60^\circ}{15} = 4^\circ\). 6. Находим дугу MN: \(\stackrel{\frown}{MN} = 7x = 7 \cdot 4^\circ = 28^\circ\). Ответ: 28°.